Question

（本题满分14分）如图，三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AA₁面ABC，BCAC，BC=AC=2，D为AC的中点。

   （1）若AA₁=2，求证：；

   （2）若AA₁=3，求二面角C₁—BD—C的余弦值.

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】本试题主要是考查了线面垂直的证明，以及二面角的求解的综合运用

（1）因为AA1= BC=2., 又AA1面ABC，关键是求证AC面B C1，从而得到线面垂直的证明。,

（2）利用三垂线定理，先作出二面角，然后借助于三角形的边角的关系得到结论。

（1）AA1= BC=2., 又AA1面ABC，,CC1ABC,, CC1 AC ,而BCAC，CC1BC=CAC面B C1, .. --------（7分）

（2）过点C作于点E,连接,CC1面ABC,, CC1BD, 又，CC1EC=C,,.故为二面角C1—BD—C的平面角。BC=2，CC1=3,,.在直角三角形中，CC1=3,. .-------------（14分）