Question

（本小题满分15分）

已知圆，为抛物线上的动点.

(Ⅰ) 若，求过点的圆的切线方程；

 (Ⅱ) 若，求过点的圆的两切线与轴围成的三角形面积的最小值.

Answer

（Ⅰ）切线方程为或．

（Ⅱ）两切线与轴围成的三角形面积的最小值为32．

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用，求解切线方程以及三角形面积的求解的综合运用。

（1）因为．当点时，设切线方程为，即，利用导数的几何意义得到k的值，得到结论。

（2）设切线，即，

切线与轴交点为，圆心到切线的距离为．

表示得到三角形的面积的公式，然后结合函数求解得到最值。

【解析】
（Ⅰ）．

当点时，设切线方程为，即．

圆心到切线的距离为，即．

所以，得或．

所以切线方程为或．………………………………………………6分

（Ⅱ）设切线，即，

切线与轴交点为，圆心到切线的距离为．

即，

化简得

设两切线斜率分别为，则，

  ，当且仅当时取等号．

所以两切线与轴围成的三角形面积的最小值为32．………………………………15分