Question

（本小题满分15分）

已知函数.

(Ⅰ) 若曲线在点处的切线与曲线有且只有一个公共点，求 的值；

(Ⅱ) 求证：函数存在单调递减区间，并求出单调递减区间的长度 的取值范围.

Answer

（Ⅰ）.（Ⅱ）以函数的递减区间长度的取值范围是.

【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中 的运用。

（1）先求解函数的定义域为，函数导数

所以曲线在点处的切线方程为：

因为切线与曲线有唯一的公共点，

所以方程有且只有一个实数解，显然是方程的一个解.

构造函数令，则

对参数m讨论得到结论。

（2））因为.

因为且对称轴为，

，

所以方程在内有两个不同实根，

结合韦达定理得到结论。

【解析】
（Ⅰ）函数的定义域为，

所以曲线在点处的切线方程为：

因为切线与曲线有唯一的公共点，

所以方程有且只有一个实数解，显然是方程的一个解.

令，则

①当时，，

所以在上单调递增，即是方程唯一实数解.

②当时，由得，，

在区间上，；在区间上，；

所以函数在处有极大值，且；

而当，因此在内也有一个解.

即当时，不合题目的条件.

综上讨论得.……………………………………………………………………………8分

（Ⅱ）.

因为且对称轴为，

，

所以方程在内有两个不同实根，

即的解集为，

所以函数的单调递减区间为.

由于，所以，

所以函数的递减区间长度的取值范围是.……………………15分