Question

（本题满分14分）如图多面体PQABCD由各棱长均为2的正四面体和正四棱锥拼接而成

(Ⅰ)证明PQ⊥BC；

(Ⅱ)若M为棱CQ上的点且,  

求的取值范围，使得二面角P-AD-M为钝二面角。

Answer

（Ⅰ）见解析；  （Ⅱ） 

【解析】本试题主要是考查了立体几何中的线线垂直的证明，以及二面角的求解的综合运用。

（1）取AD中点E，连结PE,QE      ……...2分

均为正三角形得到线线垂直，然后利用线面垂直得到线线垂直的性质定理和判定定理的综合运用。

（2）以正方形ABCD的中心O为原点，OF(F为AB的中点)为x轴，OQ为z轴，

建立空间坐标系，设出点的坐标，然后借助于向量的夹角公式表示二面角的平面角的大小。

【解析】
（Ⅰ）取AD中点E，连结PE,QE      ……...2分

均为正三角形

  ADPE, ADQE

   AD平面PEQ

        ADPQ    又AD//BC

     PQBC                             。。。。。。。。。6分

  （Ⅱ）以正方形ABCD的中心O为原点，OF(F为AB的中点)为x轴，OQ为z轴，

建立空间坐标系，  则P(0，-2，),  Q(0,0,),  B(1,1,0),  C(-1,1,0), 

A(1，-1,0),  D(-1，-1,0)                。。。。。。。。。。8分

平面PAD法向量=（0，，1）     。。。。。。。。。。10分

=(0,2,0)， 

平面ADM的法向量 。。。。。。。。。12分

                          。。。。。。。。。。。14分