Question

（本题满分15分）已知函数.

（Ⅰ)当时，求函数的单调区间;

（Ⅱ）是否存在实数，使得函数有唯一的极值，且极值大于？若存在，,求的取值

范围；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）如果对，总有，则称是的凸

函数，如果对，总有，则称是的凹函数.当时，利用定义分析的凹凸性，并加以证明。

Answer

【解析】
（Ⅰ）递增，递减   ；

（Ⅱ）；（Ⅲ）上为凸函数.上为凹函数.

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的 运用，求解函数的单调性，和函数的极值问题，以及函数的凸凹性的研究的综合运用。

（1）利用定义域和导数来求解函数的单调区间的问题。

（2）因为

显然才有唯一的极值点，利用这一点得到a的不等式，从而求解范围。

（3）根据新的凸函数与凹函数的定义，借助于导数的思想来判定结论。

【解析】
（Ⅰ）当时，              ………………2分

       递增，递减                              ………………4分

（Ⅱ）

显然才有唯一的极值点，它满足

                                      ………………6分

消去，得，  方程的正跟比1大

                                                ………………8分

故                                              ………………9分

（Ⅲ）在处取得最小值

故上为凸函数，上为凹函数           ………………11分

下证上为凸函数：

不妨设

令  ……13分

故在上递减，

即上为凸函数.

同理上为凹函数.                           ………………15分