Question

（本题满分15分）已知实数a满足0＜a≤2，a≠1，设函数f (x)＝x³－x²＋ax．

（Ⅰ） 当a＝2时，求f (x)的极小值；

（Ⅱ）若函数g(x)＝x³＋bx²－(2b＋4)x＋ln x (b∈R)的极小值点与f (x)的极小值点相同．

求证：g(x)的极大值小于等于．

Answer

(Ⅰ) f (x)极小值为f (2)＝．(Ⅱ) g(x)的极大值小于等于． 

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。利用导数判定函数的单调性以及函数的极值的问题。

（1）因为当a＝2时，f ′(x)＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)，然后求解导数为零的点，以及导数大于零或者小于零的解集即可判定单调性得到极值。

（2）因为函数g(x)＝x3＋bx2－(2b＋4)x＋ln x (b∈R)的极小值点与f (x)的极小值点相同，则分析函数g(x)的极值，求解导数，对于参数a分类讨论得到单调区间，进而得到极值，利用相等来解得。

(Ⅰ) 解: 当a＝2时，f ′(x)＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．

        列表如下：

x

(－，1)

1

(1，2)

2

(2，＋)

f ′(x)

＋

0

－

0

＋

f (x)

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增

所以，f (x)极小值为f (2)＝．           …………………………………5分

(Ⅱ) 【解析】
f ′(x)＝x2－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a)．

g ′(x)＝3x2＋2bx－(2b＋4)＋＝．

令p(x)＝3x2＋(2b＋3)x－1，

  (1) 当 1＜a≤2时，

f (x)的极小值点x＝a，则g(x)的极小值点也为x＝a，

所以p(a)＝0，

即3a2＋(2b＋3a)－1＝0，

即b＝，

此时g(x)极大值＝g(1)＝1＋b－(2b＋4)＝－3－b

＝－3＋ ＝．

由于1＜a≤2，

故 ≤2－－＝．………………………………10分

(2) 当0＜a＜1时，

f (x)的极小值点x＝1，则g(x)的极小值点为x＝1，

由于p(x)＝0有一正一负两实根，不妨设x2＜0＜x1，

所以0＜x1＜1，

即p(1)＝3＋2b＋3－1＞0，

故b＞－．

此时g(x)的极大值点x＝x1，

有 g(x1)＝x13＋bx12－(2b＋4)x1＋lnx1

＜1＋bx12－(2b＋4)x1

＝(x12－2x1)b－4x1＋1   (x12－2x1＜0)

＜－(x12－2x1)－4x1＋1

＝－x12＋x1＋1

＝－(x1－)2＋1＋   (0＜x1＜1)

≤

＜．

综上所述，g(x)的极大值小于等于．     ……………………14分