Question

已知椭圆＞b＞的离心率为且椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，斜率为的直线过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0，m）.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求m的取值范围；

（3）试用m表示△MPQ的面积S，并求面积S的最大值.

Answer

（1）（2）0＜＜（3）时，△MPQ的面积S有最大值

【解析】本试题主要是考查了圆锥曲线方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的综合运用以及三角形的面积公式的求解运用。

（1）利用待定系数法，根据已知中椭圆的性质得到关于a,b,c的关系式，然后得到椭圆的方程。

（2）设出直线方程，然后与椭圆联立，得到关于x的一元二次方程，结合韦达定理和中垂线的表示，得到参数m与k的关系式，这样可以得到求解范围。

（3）利用点到直线的距离公式和弦长公式，来表示三角形的面积，以及运用面积函数求解导数，判定打掉性确定最值