Question

（本小题满分12分）

     如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，∥,

,点在线段上.

   （I）当点为中点时，求证：∥平面；

   （II）当平面与平面所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积.

Answer

（1）见解析；（2）  

【解析】本试题主要是考查了线面平行的判定和二面角的求解和锥体体积公式的运用。

（1）以以直线、、分别为轴、轴、轴建立空间

直角坐标系，然后表示直线的方向向量，和平面的法向量，利用向量的垂直关系来证明线面平行。

（2）结合已知条件中平面与平面所成锐二面角的余弦值为时，得到三棱锥的高，然后求解体积。

【解析】
（1）以直线、、分别为轴、轴、轴建立空间

直角坐标系，则，，，所以.

∴————————2分

    又，是平面的一个法向量.

    ∵即

    ∴∥平面——————4分

     （2）设，则，

又

设，则，即.——6分

 设是平面的一个法向量，则

取 得       即 

又由题设，是平面的一个法向量，——————8分

∴   ————10分

即点为中点，此时，，为三棱锥的高，

∴      ————————————12分