Question

（本题满分12分）

如图，已知AB平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，，且F是CD的中点．

（Ⅰ）求证AF∥平面BCE；

（Ⅱ）设AB=1，求多面体ABCDE的体积．

Answer

【解析】
（Ⅰ）见解析；（II）多面体ABCDE的体积为．

【解析】本试题主要是考查了线面平行的判定定理和多面体体积的求解的综合运用。

（1）因为取CE中点P，连结FP、BP，∵F为CD的中点，∴FP//DE，且FP=

又AB//DE，且AB= ∴AB//FP，且AB=FP，

∴ABPF为平行四边形，

∴AF//BP，从而利用判定定理得到证明。

（2）根据已知中直角梯形ABED的面积和C到平面ABDE的距离，然后表示出锥体的体积。

【解析】
（Ⅰ）取CE中点P，连结FP、BP，

∵F为CD的中点，∴FP//DE，且FP=．

又AB//DE，且AB= ∴AB//FP，且AB=FP，

∴ABPF为平行四边形，

∴AF//BP．

又∵AF平面BCE，BP平面BCE，

∴AF//平面BCE．                 

（II）∵直角梯形ABED的面积为，

C到平面ABDE的距离为，

∴四棱锥C－ABDE的体积为．即多面体ABCDE的体积为．