Question

（本题满分12分）

椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为．点P（1，）、A、B在椭圆E上，且＋＝m（m∈R）．

    （1）求椭圆E的方程及直线AB的斜率；

    （2）当m＝－3时，证明原点O是△PAB的重心，并求直线AB的方程．

Answer

（1）;

（2）x+2y+2=0．

【解析】本试题主要是考查了椭圆方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的运用。

（1）由=及解得a2=4，b2=3，

椭圆方程为；再设出点A,B，利用点差法得到斜率。

（2）由（1）知，点A（x1,y1）、B（x2,y2）的坐标满足

点P的坐标为（1，）, m=-3，    于是x1+x2+1=3+m=0，y1+y2+=3++=0，

因此△PAB的重心坐标为（0，0）．即原点是△PAB的重心．

，进而得到直线的方程。

【解析】
（1）由=及解得a2=4，b2=3，

椭圆方程为；

设A（x1,y1）、B（x2,y2）， 由得

（x1+x2-2，y1+y2-3）=m（1，），即

又，，两式相减得

;

（2）由（1）知，点A（x1,y1）、B（x2,y2）的坐标满足，

点P的坐标为（1，）, m=-3，    于是x1+x2+1=3+m=0，y1+y2+=3++=0，

因此△PAB的重心坐标为（0，0）．即原点是△PAB的重心．

∵x1+x2=-1，y1+y2=-，∴AB中点坐标为（，），

又，，两式相减得

;

∴直线AB的方程为y+=（x+）,即x+2y+2=0．