Question

（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲

如图，已知与圆相切于点，经过点的割线交圆于点，的平分线分别交于点．

（1）证明：；

（2）若,求的值．

Answer

 (1)见解析；(2) =．

【解析】本试题主要是考查了三角形的相似和圆内的性质的综合运用。

（1）因为结合切割线定理和弦切角定理可知角的相等，进而得到结论。

（2）由(1)知∠BAP=∠C, 又 ∵ ∠APC=∠BPA,

∴ △APC∽△BPA并结合由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°可知在Rt△ABC中，=,得到求解。

【解析】
(1)∵ PA是切线，AB是弦，

∴ ∠BAP=∠C，

又 ∵ ∠APD=∠CPE, ∴ ∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE,

∵ ∠ADE=∠BAP+∠APD,

∠AED=∠C+∠CPE,             

∴ ∠ADE=∠AED．               

(2)由(1)知∠BAP=∠C, 又 ∵ ∠APC=∠BPA,

∴ △APC∽△BPA, ∴,          

∵ AC=AP, ∴ ∠APC=∠C=∠BAP,

由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°,

∵ BC是圆O的直径，∴ ∠BAC=90°, ∴ ∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°,

∴ ∠C=∠APC=∠BAP=×90°=30°．               

在Rt△ABC中，=, ∴ =．