Question

（本小题满分12分）

在平面内，不等式确定的平面区域为，不等式组确定的平面区域为.

（Ⅰ）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”. 在区域任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域的概率；

（Ⅱ）在区域每次任取个点，连续取次，得到个点，记这个点在区域的个数为，求的分布列和数学期望．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ））.

【解析】（1）画出平面区域和平面区域.可分别找到区域内的整点个数，由概率公式计算出恰有

2个整点在区域的概率；（2）本题属于几何概型，先求出平面区域的面积和区域与区域相交部

分的面积，由几何概型的概率公式得在区域任取1个点，则该点在区域的概率的值，又随机变量的可能取值为：.根据独立重复试验可分别求出对应的概率，列出分布列，根据期望公式计算出的数学期望．

（Ⅰ）依题可知平面区域的整点为：共有13个，上述整点在平面区域的为：共有3个，

∴.    ……………………………………………………………（4分）

（Ⅱ）依题可得，平面区域的面积为，

平面区域与平面区域相交部分的面积为.

（设扇形区域中心角为，则得，也可用向量的夹角公式求）.

在区域任取1个点，则该点在区域的概率为，随机变量的可能取值为：.

，          ，

，   ，

∴的分布列为

0

1

2

3

∴的数学期望：.  ………………………（12分）

（或者：～，故）.