Question

（本题满分12分）如图,在三棱柱中,侧面底面,,,且为中点.

(I)证明:平面;

(II)求直线与平面所成角的正弦值;

(III)在上是否存在一点,使得平面,若不存在,说明理由;若存在,确定点的位置.

Answer

(I)证明见解析

(II)

(III) 存在这样的点E,E为的中点

【解析】(1)因为侧面底面,所以只需证明即可.

（2）可以以O为原点，ＯＮ，ＯＣ，ＯＡ１所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，然后用向量的方法求解线面角的问题.

（3）在（2）的基础上也可以用向量来求点E位置.也可以取BC的中点M，连接OM，取BC1的中点E，连接ME，则OM//AB，ME//BB1//AA1，所以平面OMB//平面AA1B，所以OE//平面.从而确定E为BC1的中点.

(Ⅰ)证明:因为,且O为AC的中点,

所以 

又由题意可知,平面平面,交线为,且平面,

所以平面 

(Ⅱ)如图,以O为原点,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

由题意可知,又 

所以得: 

则有: 

设平面的一个法向量为,则有

,令,得 

所以 

因为直线与平面所成角和向量与所成锐角互余,所以 

(Ⅲ)设 

即,得 

所以得 

令平面,得 , 

即得 

即存在这样的点E,E为的中点