（本小题满分13分）已知椭圆 .与有相同的离心率,过点的直线与,依次交于A,C...

（本小题满分13分）

已知椭圆 .与有相同的离心率,过点的直线与,依次交于A,C,D,B四点(如图).当直线过的上顶点时, 直线的倾斜角为.

（1）求椭圆的方程;

（2）求证:;

（3）若,求直线的方程.

解:(1) .(2)见解析；(3) 【解析】本试题主要是考查了椭圆方程的求解，以及利用直线与椭圆的位置关系求解直线的方程，证明线段相等的综合运用。（1）利用椭圆的几何性质表示得到a,b,c的关系式，从而得到椭圆的方程。（2）设直线与椭圆方程联系，借助于坐标的关系来证明相等即可。（3）在第二问的基础上，进一步得到关于直线斜率k的表达式，化简得到直线的方程，解:(1),因此椭圆的方程为. (2)当直线垂直轴时,易求得因此, 当直线不垂直轴时,设由 ①, 由 ②, 设,则是方程①的解, 是方程②的解.,线段AB,CD的中点重合, (3).由(2)知,,当直线垂直轴时,不合要求; 当直线不垂直轴时,设,由(2)知, ,, ,化简可得: ,

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考点分析：

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（2）为了增大水渠的过水量，现要把这条水渠改挖（不能填土）成横断面为等腰梯形的水渠，使水渠的底面与地面平行（不改变渠深），要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽。

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