（本小题满分13分）设函数对任意的实数，都有，且当时，。（1）若时，求的解析...

（本小题满分13分）

设函数对任意的实数，都有，且当时，。

（1）若时，求的解析式；

（2）对于函数，试问：在它的图象上是否存在点，使得函数在点处的切线与平行。若存在，那么这样的点有几个；若不存在，说明理由。

（3）已知，且，记，求证： 。

【解析】（1）；（2）满足题意的点有5个；（3） . 【解析】本试题主要考查了函数的解析式的求解，以及过点的切线方程的问题，和不等式的证明的综合运用。（1）第一问中将所求的变量转化为已知的区间，利用已知的关系式求解得到解析式。（2）在第一问的基础上进一步得到函数的一般式，然后利用导数的思想，只要判定导函数为零，方程有无解即可。（3）在第二问的得到函数的单调性，以及函数的最大值，然后结合函数的最值得到不等式，再结合等比数列的求和的思想得到。【解析】（1）∵ 设，则，∴。…………………2分（2）设，则， ∴ ∴，即为………4分 ∵ ∴问题转化为判断：关于的方程在，内是否解，即在，内是否有解，……………………6分令函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是直线，判别式，且，，当时，∵， ∴方程分别在区间上各有一解，即存在5个满足题意的点 ②当时，∵，∴方程在区间上无解。综上所述：满足题意的点有5个。 …………………………9分（3）由（2）可知： ∴当时，，在上递增；当时，，在上递减。 ∴当时，，又 ∴对任意的，当时，都有， ∴。 ∴ …………………………13分

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考点分析：

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（2）求证:;

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