Question

（本小题满分14分）

已知函数 只有一个零点.

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）若函数在区间上有极值点，求取值范围；

（Ⅲ）是否存在两个不等正数，当时，函数的值域也是，若存在，求出所有这样的正数；若不存在，请说明理由；

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）；

（Ⅲ）不存在这样的正数，满足题意.

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

（1）因为函数 只有一个零点.

可以知道在x=3处的导数值为零，以及导数为零点只有一个，求解函数的解析式；

（2）因为函数在区间上有极值点，说明了导数在给定区间内有根，然后借助于函数的性质来求取值范围；

（3）假设存在两个不等正数，当时，函数的值域也是，根据函数的单调性判定来求解取值。

（Ⅰ） 是的根，并满足

（Ⅱ）在(0，2)上有极值点

在(0，2)上有根

即在(0，2)上有根

又对称轴为,且开口向上,如图所示:

的根设为，且满足

0

0

极大值

极小值

所以 在(0，2)上有极值点时，的取值范围为

（Ⅲ）,

(0,1)

1

（1,3）

3

+

递增

4

 递减

0

 递增

假设存在不等正数，得当时，的值域也是

，极值点

（ⅰ）若或，则在上单调递增

有不合要求，舍去.

（ⅱ）若，在此区间上的最大值为4，不可能等于，不符合题意，舍去（ⅲ）若，在单调递减

两式相减并除得——①

两式相除并开方可得即——②

代入①式得与矛盾.

 综上所述，不存在这样的正数，满足题意.