Question

(本小题满分12分)某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[160，165)，第2组[165，170)，第3组[170，175)，第4组[175，180)，第5组[180，185)得到的频率分布直方图如图所示。

(Ⅰ)求第3、4、5组的频率；

(Ⅱ)为了能选拔出最优秀的学生，该校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试?

(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求：第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率?

Answer

(Ⅰ) 第组的频率为0.3；第组的频率为0.2；第组的频率为0.1

(Ⅱ) 第组的人数为3；第组的人数为2；第组的人数为1

(Ⅲ)

【解析】本试题主要是考查了直方图的性质的运用，以及古典概型概率的运算的综合运用。

（1）由题设可知，第组的频率为   第组的频率为

第组的频率为。

（2）第组的人数为    第组的人数为

第组的人数为。利用分层抽样的等比例性质得到各层应该抽取的人数。

（3）设第组的位同学为，第组的位同学为，第组的位同学为，则从六位同学中抽两位同学有15中情况，其中其中第组的位同学为至少有一位同学入选的有其中第组的位同学为至少有一位同学入选的有9种，进而得到概率值。

【解析】
(Ⅰ)由题设可知，第组的频率为   第组的频率为

第组的频率为。      ……………………………………………………3分

(Ⅱ)第组的人数为    第组的人数为

第组的人数为。     ……………………………………………………6分

因为第组共有名学生，所以利用分层抽样在名学生中抽取名学生，每组抽取的人数分别为：    第组：    第组：    第组：

所以第组分别抽取人、人、人     …………………………………………9分

(Ⅲ)设第组的位同学为，第组的位同学为，第组的位同学为，则从六位同学中抽两位同学有：

共种可能。                    ……………………………………………10分

其中第组的位同学为至少有一位同学入选的有：

共种可能，         ……………………11分

所以第组至少有一名学生被甲考官面试的概率为        …………………12分