Question

（本小题满分13分）对某校高一年级的学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了下图所示的频数与频率的统计表和频率分布直方图：

（I）求出表中M、p及图中a的值

（II）学校决定对参加社区服务的学生进行表彰，对参加活动次数在［25，30］区间的每个学生发放价值80元的学习用品，对参加活动次数在［20,25）区间的每个学生发放价值60元的学习用品，对参加活动次数在［15,20）区间的每个学生发放价值40元的学习用品，对参加活动次数在［10,15）区间的每个学生发放价值20元的学习用品，在所抽取的这M名学生中，任意取出2人，设X为此二人所获得学习用品价值之差的绝对值，求X的分布列与数学期望E（X）。

Answer

（I），，a为0.08

（II）的分布列为：

【解析】本试题主要是考查了直方图的性质的运用，以及分布列的求解和数学期望值的运算的综合运用。

（1）利用直方图中面积代表频率可知，，，，又，

解得，，，，

故可知得到结论

（2）先分析随机变量的取值情况，然后得到各个取值的概率值，进而结合古典概型得到概率值，得到分布列和期望值。

解（Ⅰ）由题可知，，，，又，

解得，，，，

故组的频率与组距之比a为0.08．··················· 5分

（Ⅱ）可知X的值可能为0元、20元、40元、60元，·············· 6分

则，，

，.················ 10分

所以的分布列为：

0

20

40

60

P

···································· 11分

．  13分