Question

（本小题满分13分）已知两点，，曲线上的动点满足，直线与曲线交于另一点．

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）设，若，求直线的方程．

Answer

（Ⅰ）

（Ⅱ）

【解析】本试题主要是考查了曲线方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的综合御用。

（1）因为,，

所以曲线是以，为焦点，长轴长为的椭圆．进而得到方程。

（2）设出直线方程与椭圆方程联立方程组，然后结合韦达定理可知根与系数的关系，同时

因为，所以，则. 

得到坐标的关系，得到结论。

【解析】
（Ⅰ）因为,，

所以曲线是以，为焦点，长轴长为的椭圆．

曲线的方程为．                         ……5分

（Ⅱ）显然直线不垂直于轴，也不与轴重合或平行.  ……6分

设，直线方程为，其中.

由 得.   解得或.

依题意，.     ……8分

因为，所以，则. 

于是

所以                   ……10分

因为点在椭圆上，所以 .

整理得 ，

解得或（舍去），从而 .                ……12分

所以直线的方程为.                  ……13分