Question

已知函数（、∈R，≠0），函数的图象在点（2，）处的切线与轴平行.

（1）用关于的代数式表示；

（2）求函数的单调增区间；

（3）当,若函数有三个零点，求m的取值范围.

Answer

（1）（2）当时，函数的单调增区间是（－∞，0）和（2，＋∞）；当时，函数的单调增区间是（0，2）    (3) .

【解析】(1)由于可找到m、n的等式关系.从而可以用m表示n.

（2）  利用导数大于（小于）零，求出函数的单调增（减）区间.

（3）   当m>0时，函数有三个零点,可转化为方程f(x)=m-1有三个不同的实数根，

进一步转化为函数y=f(x)与直线y=m-1有三个不同的交点，从而利用导数研究f(x)的图像的单调性极值来解决即可

（1）由已知条件得 ，又，   ∴，故.

（2）∵，∴，∴. 令，即，

 当时，解得或，则函数的单调增区间是（－∞，0）和（2，＋∞）；

 当时，解得，则函数的单调增区间是（0，2）.………………8分

综上，当时，函数的单调增区间是（－∞，0）和（2，＋∞）；当时，

函数的单调增区间是（0，2）.………………………10分

(3) 由及

当,，

当，解得或，则函数的单调增区间是（－∞，0）和（2，＋∞）；

当，得，则函数的单调减区间是（0，2），……………12分

所以有极大值和极小值，

因为有三个零点，则得.