Question

如图，三棱柱中，平面，，, 点在线段上，且，．

（Ⅰ）求证：直线与平面不平行；

（Ⅱ）设平面与平面所成的锐二面角为，若，求的长；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设平面平面，求直线与所成的角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）见解析   （Ⅱ） ．（Ⅲ）直线与所成的角的余弦值为．

【解析】(I)本小题易用空间向量法解决，易求出平面ABC的法向量，然后证明向量DE与平面ABC的法向量的数量积不等于零即可.

（2）先求出平面的一个法向量，然后，可以求出此直棱柱的高.

(3)先找出平面平面与平面的交线．在平面内，分别延长，交于点，连结，则直线为平面与平面的交线.

然后求出的坐标，再根据,求出直线与所成的角的余弦值.

依题意，可建立如图所示的空间直角坐标系，设，则

．2分

（Ⅰ）证明：由平面可知为平面的一个法向量．

∴ ．∴ 直线与平面不平行．   4分

（Ⅱ）设平面的法向量为，则，

取，则，故．6分

∴，7分解得．∴ ．

（Ⅲ）在平面内，分别延长，交于点，连结，则直线为平面与平面的交线．∵ ，，∴ ．∴ ，

∴ ．········ 11分

由（Ⅱ）知，，故，

∴ ．∴ 直线与所成的角的余弦值为