Question

如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于两点（点在点的左侧），且．

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）过点任作一条直线与椭圆相交于两点，连接，求证：．

Answer

（Ⅰ）．（Ⅱ）略

【解析】(I)由于圆与轴相切于点, 所以圆心坐标为,然后根据

建立关于r的方程求出r值，圆的标准确定.

(2)将y=0代入圆的方程求出M,N的坐标，然后再分两种情况证明.

(i) 当轴时，由椭圆对称性可知.

当与轴不垂直时，可设直线的方程为．证明,然后直线方程与椭圆方程联立借助韦达定理来解决即可

（Ⅰ）设圆的半径为（），依题意，圆心坐标为．∵ ∴ ，解得． 3分∴ 圆的方程为． 5分

（Ⅱ）把代入方程，解得，或，即点，．

（1）当轴时，由椭圆对称性可知． 7分

（2）当与轴不垂直时，可设直线的方程为．

联立方程，消去得，．········ 8分

设直线交椭圆于两点，则，．

∵ ，∴

．

∵，

∴ ，．综上所述，．