Question

已知函数．

（Ⅰ）当时，求函数的图象在处的切线方程；

（Ⅱ）判断函数的单调性；

（Ⅲ）求证：（）．

Answer

（Ⅰ）.（Ⅱ）当时，函数在单调递增；当时，函数在单调递减，在上单调递增．（Ⅲ）见解析

【解析】(I)当a=2时，先求出的值，即切线的斜率，然后写出点斜式方程，再化成一般式即可.

(II)先求导，可得,然后再对和a<0两种情况进行讨论研究其单调性.

(III) 由（Ⅱ）可知，当时，在上单调递增．

∴ 当时，，即

然后解本题的关键是令（），则,

又因为，即,从而问题得证

（Ⅰ）当时，，

∴，1分∴ ，所以所求的切线的斜率为3. 2分

又∵，所以切点为.3分故所求的切线方程为：.4分

（Ⅱ）∵，∴．①当时，∵，∴；②当时，由，得；由，得；综上，当时，函数在单调递增；

当时，函数在单调递减，在上单调递增．···· 8分

（Ⅲ）方法一：由（Ⅱ）可知，当时，在上单调递增．∴ 当时，，即．···························· 10分

令（），则．··············· 11分

另一方面，∵，即,∴ ．∴ （）．

方法二：构造函数，············· 9分

∴，··················· 10分

∴当时,；∴函数在单调递增．∴函数 ，即∴，，即2分

令（），则有