Question

（本小题满分14分）

已知函数。

（Ⅰ）求函数的单调区间。

（Ⅱ）若上恒成立，求实数的取值范围

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，对任意的，求证：。

Answer

【解析】
（Ⅰ）当时，恒成立，则函数在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减．

（Ⅱ）若在上恒成立，=1．

(Ⅲ）见解析。

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。利用导数求解单调区间和最值问题，以及证明不等式的成立。

（1）先求解定义域，然后分析导数为正和负的解集，得到单调区间。

(2)因为上恒成立，，只要求解函数f(x)的最大值小于等于零即可。因此转换为求解函数的最大值的思想来解决。

(3) 要证明，而由（Ⅱ）得： ，那么利用不等式的关系来分析放缩得到证明。

【解析】
（Ⅰ）

当时，恒成立，则函数在上单调递增；………2分

当时，由，则 

则在上单调递增，在上单调递减．      …………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：当时显然不成立；

  当时，,

只需即可 ． …………………………．6分

令,

则，函数在上单调递减，在上单调递增．

，

即对恒成立，也就是对恒成立，

∴解得，…………………………9分

∴若在上恒成立，=1． ……………10分

(Ⅲ）, ………11分

由得,

由（Ⅱ）得： ,………12分

则,

则原不等式成立 ． …………………………14分