Question

（本小题满分14分）

已知函数，其中常数．

（Ⅰ）当时，求函数的极值点；

（Ⅱ）令，若函数在区间上单调递增，求的取值范围；

（Ⅲ）设定义在D上的函数在点处的切线方程为当时，若在D内恒成立，则称P为函数的“特殊点”，请你探究当时，函数是否存在“特殊点”，若存在，请最少求出一个“特殊点”的横坐标，若不存在，说明理由．

Answer

(Ⅰ) 为函数的极大值点，为函数的极小值点.

(Ⅱ) ；（Ⅲ）是一个特殊点的横坐标.

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数的中的运用。确定函数的单调性，以及函数的极值点，和函数的最值问题的综合运用。

（1）由于当a=4时，解析式确定，求解导数，判定单调性，可以知道函数的 极值点的问题。

（2）因为令，若函数在区间上单调递增，说明了函数F(x)在给定区间的导数恒大于等于零，来分离参数得到取值范围。

（3）根据新的定义“特殊点”的理解，然后给定参数a的值为4，结合第一问的结论，分析可知是否有满足题意的特殊点，主要是借助于导数分析单调性得到。

(Ⅰ)当时，=

当时，，即在上单调递增；

当时，，即在上单调递减，

所以为函数的极大值点，为函数的极小值点.         ……4分

(Ⅱ)，若函数在区间上单调递增，只需满足对恒成立                      ………………6分

即对恒成立

所以                                       ………………………8分

（Ⅲ）由题意：当时，，

则在点P处切线的斜率

所以

                   ………………………10分

令，

则

当时，在上单调递减.时，从而有时，

当时，在上单调递减，从而有时，                             ………………………12分

在上不存在“特殊点”.当时，

在上是增函数，故是一个特殊点的横坐标.