Question

．(本小题满分13分)

   以椭圆：的中心为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准圆”.设椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为，且满足，.

（Ⅰ）求椭圆及其“准圆”的方程；

（Ⅱ）若椭圆的“准圆”的一条弦（不与坐标轴垂直）与椭圆交于、两点，试证明：当时，试问弦的长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

Answer

（Ⅰ）椭圆的方程为；椭圆的“准圆”方程为.

（Ⅱ）弦的长为定值.

【解析】本试题主要是考查了圆锥曲线方程的求解以及直线与圆锥曲线你的位置关系的综合运用。体现了运用代数的方法解决解析几何的本质思想

（1）因为以椭圆：的中心为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准圆”.设椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为，且满足，.可知系数a,c关系式，再结合a,b,,c关系求解得到结论。

（2）假设弦的长是为定值，那么由于椭圆的“准圆”的一条弦（不与坐标轴垂直）与椭圆交于、两点，并且时，联立方程组结合韦达定理和向量的垂直关系得到结论。

【解析】
（Ⅰ）设椭圆的左焦点，由得，又，即且，所以，

则椭圆的方程为；椭圆的“准圆”方程为.………6分

（Ⅱ）设直线的方程为，且与椭圆的交点，

联列方程组   代入消元得： 

由                     ………8分

可得 由得即， 所以………10分

此时成立，

则原点到弦的距离,

得原点到弦的距离为，则，

故弦的长为定值. ……………………………13分