Question

.已知函数

（Ⅰ）当时，求的值域

（Ⅱ）设，若在恒成立，求实数a的取值范围

（III）设，若在上的所有极值点按从小到大排成一列，

  求证：

Answer

（Ⅰ）函数的值域为 ；（Ⅱ）的取值范围为 .（Ⅲ）.

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的 运用。利用导数求解函数的单调区间，确定值域和运用不等式恒成立问题，得到参数的取值范围以及不等式的证明。

（1）因为上单调递增.

，从而得到值域。

（2）因为设，若在恒成立，可以构造函数，记，则.

利用导数的思想确定最值得到参数的范围。

（3）根据

令，则.

那么可知借助于正切函数的单调区间得到结论。

【解析】
（Ⅰ） 上单调递增.

所以函数的值域为                  ……………………. 4分

（Ⅱ），记，则.

当时，,所以在上单调递增.

又，故.从而在上单调递增.

所以，即在上恒成立………….7分

当时，.

所以上单调递减，从而，

故在上单调递减，这与已知矛盾. …………….9分

综上，故的取值范围为 .

（Ⅲ）

令，则.

依题意可知，

从而.  …………………….12分

又,所以.    …………….14分