Question

（本题满分12分）

已知函数，其中为实数．

(Ⅰ)当时，求曲线在点处的切线方程；

(Ⅱ)是否存在实数，使得对任意，恒成立?若不存在，请说明理由，若存在，求出的值并加以证明．

Answer

(Ⅰ)

(Ⅱ) 存在实数，使得对任意，恒成立

【解析】本试题主要是考查了导数的几何意义的运用，以及运用导数求解函数的 最值综合运用。

（1）由已知关系式得到函数的定义域，然后把a=2代入原式中，求解函数的导数，利用函数在某点处的导数值即为该点的切线的斜率来求解得到切线方程。

（2）由于要是不等式恒成立，需要对原式进行变形，将分式转化为整式，然后构造函数求解最值得到参数的范围。

【解析】
（Ⅰ）时，，

，，

又

所以切线方程为              ………6分

（Ⅱ）1°当时，，则

令，，

再令，

当时，∴在上递减，

∴当时，，

∴，所以在上递增，，

所以

2°时，，则

由1°知当时，在上递增

当时，，

所以在上递增，∴

∴；

由1°及2°得：                        ………12分