Question

（本小题满分12分）

已知椭圆M的中心为坐标原点，且焦点在x轴上，若M的一个顶点恰好是抛物线的焦点，M的离心率，过M的右焦点F作不与坐标轴垂直的直线，交M于A，B两点.

（1）求椭圆M的标准方程；

（2）设点N（t，0）是一个动点，且，求实数t的取值范围.

Answer

（1）；

（2）

【解析】(1)由抛物线焦点可得椭圆焦点F（2，0），所以可得c=2,再由离心率,得a=1,所以椭圆方程为.

(2) 设，，设

(*)

下面解题的关键是把条件

直线方程和(*)式韦达定理可确定t的值.

（Ⅰ）椭圆的标准方程：                           （4分）

（Ⅱ）设，，设

由韦达定理得          ①                    （6分）

将，代入上式整理得：

，由知

，将①代入得       （10分）

所以实数                                         （12分）