Question

（本小题满分12分）

设二次函数，函数，且有，

（1）求函数的解析式；

（2）是否存在实数k和p，使得成立，若存在，求出k和p的值；若不存在，说明理由.

Answer

（1）   （）

（2）

【解析】（I）由，可建立关于a,b，m,n

的方程，从而求出f(x),g(x)的解析式.

（2）假设存在，令f(x)=g(x)=kx+p,即，然后可以构造（），证明h(x)与x轴的正半轴有交点即可.然后再根据图像确定直线方程y=kx+p应满足什么条件.

（Ⅰ），，

，，即，

．                                                     （2分）

，．， ，

解得，（）．                （4分）

（Ⅱ）令，可得（）．

（法一）， ，

，，

，，，

即与有且仅有一个交点为，

在点处的切线为．                         （8分）

（法二）设（），

（），

令，解得，

且时，，单调递减，

时，，单调递增，

时，．

所以，与有且仅有一个交点为．

在点处的切线为．                         （8分）

下面证明．

设（），

（法一）

，，即．        （12分）

（法二），令，解得．

且时，，单调递减，

时，，单调递增，

时，，即．       （12分）