Question

如图18图，已知AA₁//BB₁//CC₁，且AA₁=BB₁=2CC₁=2，AA₁⊥面A₁B₁C₁，△A₁B₁C₁是边长为2的正三角形，M为BC的中点。

   （1）求证：MA₁⊥B₁C₁；

   （2）求二面角C₁—MB₁—A₁的平面角的正切值。

Answer

（Ⅰ）见解析   （Ⅱ）

【解析】本试题主要是考查了空间立体几何总的线线垂直的判定和二面角的求解的证明你和求解试题的综合运用。可以运用几何方法证明，也可以运用向量法来解得。

（1）利用线面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理得到线线垂直的证明，关键是面的证明

（2）借助于三垂线定理，做辅助线，可知为二面角的平面角

然后借助于直角三角形中边的关系求解得到二面角的平面角的大小

【解析】
法一：（Ⅰ）取的中点，连结，，则

又由题意可知，所以面，

所以，所以面，所以……6分

（Ⅱ）过作于，连结，由（Ⅰ）可知面，

由三垂线定理可知为二面角的平面角

，，，在中，

所以……13分

法二：如图建立直角坐标，则，

则

（Ⅰ），……6分

（Ⅱ）取的中点，取面的法向量

设面的法向量为

，

所以