Question

（本题满分12分）如图，四棱锥的底面是矩形，，且侧面是正三角形，平面平面，

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为45°.若存在，试求的值，若不存在，请说明理由.

Answer

（Ⅰ）证明见解析；

（Ⅱ）在棱上存在点，当时，使得二面角的大小等于45°

【解析】本试题主要是考查了线线垂直的证明，以及二面角的求解的综合运用。

（1）根据已知条件可得，线面垂直判定定理可以得到线线垂直的证明。

（2）需要合理建立空间直角坐标系，然后设出两个半平面的法向量，然后借助于向量的数量积公式，表示得到向量的夹角，然后利用相等或者互补得到结论。

【解析】
取中点，则由，得，又平面平面，且平面平面，所以平面.以为原点，建立空间直角坐标系（如图）.

则

……………………2分

（Ⅰ）证明：∵

……………………………………………………………………4分

∴，

∴，即.…………………………………6分

（Ⅱ）假设在棱上存在一点，不妨设

，

则点的坐标为，……………………………8分

∴

设是平面的法向量，则

不妨取，则得到平面的一个法向量.………10分

又面的法向量可以是

要使二面角的大小等于45°，

则45°=

可解得，即

故在棱上存在点，当时，使得二面角的大小等于45° …12分