Question

已知分别为椭圆的上下焦点，其中也是抛物线的焦点，点是与在第二象限的交点，且.

（1）      求椭圆的方程；（5分）

（2）      已知点和圆，过点的动直线与圆相交于不同的两

点，在线段上取一点,满足且.

   求证：点总在某定直线上.（7分）

Answer

（1）（2）见解析

【解析】(I)根据抛物线的焦点坐标可求出c值，然后利用和抛物线的焦半径公式求出点M的坐标，根据点M在椭圆上，建立方程可求出椭圆的标准方程.

（1）      证明点Q总在一条直线上，就是证明点Q的坐标总是满足某条直线方程，设，由和可得四个方程，然后再结合点A、B都在圆上，对四个方程进行变形求解

（1）由知，，设，因在抛物线上，故，又，则，得，而点

在椭圆上，有，又，所以椭圆方程为 （5分）

（2）设，由,得，即  ①     ②

由，得  ③    ,  ④ --------  （7分）

  ①③,得 , ②④,得 -----（9分）

 两式相加得 ,又点在圆

 上,由(1)知,即在圆上,且,

（2）       ,即,点总在定直线上