Question

已知函数的图像过坐标原点，且在点处的切线的斜率是．

（1）求实数的值；

（2）求在区间上的最大值；

（3）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以为

直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边的中点在轴上？请说明理由．

Answer

（I）．   （II）

对任意给定的正实数，曲线上总存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边的中点在y轴上．                 （12分） 

【解析】本试题主要是考查导数在研究函数中的运用。

（1）当x＜1时，由f（x）=-x3+x2+bx+c，知f′（x）=-3x2+2x+b．依题意f′（-1）=-5，故b=0，再由f（0）=0，能求出c=0．

（2）当x＜1时，由f（x）=-x3+x2，知f′（x）=-3x2+2x，令f′（x）=0，得x=0，x=

．列表讨论，得f（-1）=2；f（0）=0；f（ ）= ；f（1）=0．由此进行分类讨论，能求出f（x）在区间[-1，2]上的最大值．

（3）不妨设，则，显然

因为是以为直角顶点的直角三角形，

所以，即结合方程有解来分析求解。