Question

已知数列中，，且（）。

（I）     求，的值及数列的通项公式；

（II）   （II）令，数列的前项和为，试比较与的大小；

（III）令，数列的前项和为，求证：对任意，都有。

Answer

（I）【解析】
当时，，（1分）

    当时，。（2分）

    因为，所以。（3分）

    当时，由累加法得，

    因为，所以时，有。

即。

又时，，

故。（5分）

（II）【解析】
时，，则。

记函数，

所以。

则0。

所以。（7分）

由于，此时；

，此时；

，此时；

由于，故时，，此时。

综上所述，当时，；当时，。（8分）

（III）证明：对于，有。

当时，。

所以当时，

。

且。

故对，得证。（10分）

【解析】本试题主要是考查了数列的通项公式与求和的综合运用，以及数列与不等式的关系的运用。

（1）利用已知的递推关系得到数列的前几项的值，并整体变形构造等差数列求解通项公式。

（2）利用第一问的结论，结合分组求和的思想和等比数列的求和得到结论。

（3））先分析通项公式的特点，然后裂项求和，证明不等是的成立问题。