Question

设数列为等比数列，数列满足，，已知，，其中.

(Ⅰ) 求数列的首项和公比；

(Ⅱ) 当时，求；

(Ⅲ) 设为数列的前项和，若对于任意的正整数，都有，求实数的取值范围.

Answer

【解析】
(Ⅰ) 由已知，所以，

， 所以，

解得，所以数列的公比.……………………………2分

(Ⅱ) 因为  ，

，……………①

，……………②

②①得，…………………………4分

所以，

当时，.………………………………6分

(Ⅲ)，………………………………7分

因为，所以，由得，

注意到，当为奇数时，当为偶数时，

所以最大值为，最小值为.………………………………9分

对于任意的正整数都有，

所以，.

即所求实数的取值范围是.……………………………………10分

【解析】本试题主要是考查了等比数列的通项公式的求解，以及数列前n项和的运用。

（1）因为设数列为等比数列，数列满足，，已知，，其中，那么可知由已知，所以，

， 所以，

解得，所以数列的公比

（2）利用错位相减法得到数列bn的公式。

（3）设为数列的前项和，若对于任意的正整数，都有

因为，可以解得。