Question

设函数，其中.

（Ⅰ）若函数的图象在点处的切线与直线平行，求实数的值；

（Ⅱ）求函数的极值.

Answer

（Ⅰ）【解析】
函数的定义域是.      ……………… 1分

对求导数，得.  ………… 3分

由题意，得，且，

解得.                       ………………………… 5分

（Ⅱ）【解析】
由，得方程，

一元二次方程存在两解，，………… 6分

当时，即当时，

随着x的变化，与的变化情况如下表：   

↘

极小值

↗

 即函数在上单调递减，在上单调递增.

所以函数在存在极小值；   …………… 8分

当时，即当时，

随着x的变化，与的变化情况如下表：   

↗

极大值

↘

极小值

↗

即函数在，上单调递增，在上单调递减.

所以函数在存在极小值，在存在极大值；            ………………………… 10分

 当时，即当时，

 因为（当且仅当时等号成立），

所以在上为增函数，故不存在极值；     ……………12分

 当时，即当时，

随着x的变化，与的变化情况如下表：   

极大值

极小值

即函数在，上单调递增，在上单调递减.

所以函数在存在极大值，在存在极小值；

综上，当时，函数存在极小值，不存在极大值；

 当时，函数存在极小值，存在极大值 ；

 当时，函数不存在极值；

当时，函数存在极大值，存在极小值.

【解析】本试题主要是考查了导数的几何意义的运用，以及运用到导数求解函数极值的综合运用

（1）先分析定义域，然后求解导数得到再给定点的导数值，进而确定切线方程 。

（2）需要对参数a进行分类讨论，判定单调性，进而得到不同情况下的极值问题。