Question

在数列中，对于任意，等式成立，其中常数.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求证：数列为等比数列；

（Ⅲ）如果关于n的不等式的解集为，求b和c的取值范围.

Answer

（Ⅰ）【解析】
因为，       

 所以，，            

解得 ，.          ………………………… 3分

（Ⅱ）证明：当时，由，     ①

得，               ②

将①，②两式相减，得 ,  

化简，得，其中.         ………………… 5分

因为，

所以 ，其中.      ………………………… 6分

因为 为常数，   

所以数列为等比数列.     …………………… 8分

（Ⅲ）【解析】
由（Ⅱ），得，      ……………………… 9分

 所以

， 11分

 又因为，

所以不等式化简为，

 当时，考察不等式的解，

由题意，知不等式的解集为，

因为函数在R上单调递增，

所以只要求 且即可，

解得；     …………………… 13分

当时，考察不等式的解，

由题意，要求不等式的解集为，

因为，

所以如果时不等式成立，那么时不等式也成立，

这与题意不符，舍去.

所以，.                  ………………………… 14分

【解析】本试题主要是考查了数列通项公式的运用，以及数列与不等式的综合运用。

（1）因为，       

 所以，，            

解得 ，. 

（2）采用整体的思想，作差法得到通项公式的表示，进而得到结论。

（3）由（Ⅱ），得，      ……………………… 9分

 所以

然后求和化简得到。