Question

（本小题10分）如图已知在三棱柱ABC——A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，AC=BC，M、N、P、Q分别是AA₁、BB₁、AB、B₁C₁的中点.

 

(1) 求证：面PCC₁⊥面MNQ；

(2) 求证：PC₁∥面MNQ。

Answer

见解析。

【解析】本试题主要是考查了面面垂直的运用以及线面平行的证明综合运用。

（1）因为AC=BC， P是AB的中点      ∴AB⊥PC  ∵AA1⊥面ABC，CC1∥AA1

CC1⊥面ABC而AB在平面ABC内，由此推理得到MN⊥面PCC1即可。

（2）连PB1与MN相交于K，连KQ，∵MN∥PB，N为BB1的中点，∴K为PB1的中点.

又∵Q是C1B1的中点    ∴PC1∥KQ，则由线面平行 的判定定理得到结论。

证明：（1）∵AC=BC， P是AB的中点      ∴AB⊥PC  ∵AA1⊥面ABC，CC1∥AA1，

∴CC1⊥面ABC而AB在平面ABC内       ∴CC1⊥AB， ∵CC1∩PC=C   ∴AB⊥面PCC1；      

又∵M、N分别是AA1、BB1的中点，四边形AA1B1B是平行四边形，MN∥AB，∴MN⊥面PCC1   

∵MN在平面MNQ内，∴面PCC1⊥面MNQ； 

（2）连PB1与MN相交于K，连KQ，∵MN∥PB，N为BB1的中点，∴K为PB1的中点.

又∵Q是C1B1的中点    ∴PC1∥KQ 而KQ平面MNQ，PC1平面MNQ  ∴PC1∥面MNQ.