Question

（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

 如图，的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E

（I）证明：

（II）若的面积，求的大小。

Answer

（I）证明：见解析；（Ⅱ）=90°

【解析】相似三角形有三个判定定理：判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似； 判定定理2：三边对应成比例的两个三角形相似；判定定理3：两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似．在证明三角形相似时，要根据已知条件选择适当的定理．

（1）要判断两个三角形相似，可以根据三角形相似判定定理进行证明，但注意观察已知条件中给出的是角的关系，故采用判定定理1更合适，故需要再找到一组对应角相等，由圆周角定理，易得满足条件的角．

（2）根据（1）的结论，我们可得三角形对应对成比例，由此我们可以将△ABC的面积S=12

AD•AE转化为S= AB•AC，再结合三角形面积公式，不难得到∠BAC的大小．

证明：（Ⅰ）由已知条件，可得

因为是同弧上的圆周角，所以

故△ABE∽△ADC.                 ……5分

（Ⅱ）因为△ABE∽△ADC，所以，即AB·AC=AD·AE.

又S=AB·ACsin，且S=AD·AE，故AB·ACsin= AD·AE.

则sin=1，又为三角形内角，所以=90°