Question

(本小题满分14分)

已知椭圆的两焦点分别为，且椭圆上的点到的最小距离为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点作直线交椭圆于两点，设线段的中垂线交轴于，求m的取值范围.

Answer

（Ⅰ）．  （Ⅱ）.  

【解析】本试题主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运用，以及椭圆方程的求解的综合运用。

（1）因为由题意知，椭圆中参数c和a的值得到椭圆方程的求解。

（2）根据已知条件设出直线方程，对于斜率要分类讨论是否存在，然后结合直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理和中点公式得到中垂线方程求解。

【解析】
（Ⅰ）由题意可设椭圆为，，

，，故椭圆的方程为．    4分

（Ⅱ）①当的斜率不存在时，线段的中垂线为轴，；  8分

②当的斜率存在时，设的方程为，代入得：

，由得， 10分

设，则，，

，

∴线段的中点为，中垂线方程为，

                                                                              12分

令得. 由，易得.

综上可知，实数m的取值范围是. 14分