Question

(本小题满分14分)

如图所示，已知圆，为定点，为圆上的动点，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹为曲线E.

 

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）过点作直线交曲线于两点，设线段的中垂线交轴于点，求实数m的取值范围.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】本试题主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运用，以及椭圆方程的求解的综合运用。

（1）因为由题意知，.

又，

∴动点D的轨迹是以点为焦点的椭圆

（2）根据已知条件设出直线方程，对于斜率要分类讨论是否存在，然后结合直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理和中点公式得到中垂线方程求解。

【解析】
（Ⅰ）由题意知，.

又，

∴动点D的轨迹是以点为焦点的椭圆，且椭圆的长轴长，

焦距. ，

∴曲线的方程为  6分

（Ⅱ）①当的斜率不存在时，线段的中垂线为轴，；  8分

②当的斜率存在时，设的方程为，代入

得：

，由得，  10分

设，则，，

，

∴线段的中点为，中垂线方程为，12分

令得. 由，易得.

综上可知，实数m的取值范围是.                 14分