Question

设函数.

（1）若函数是定义域上的单调函数，求实数的取值范围；

（2）求函数的极值点.

Answer

（1）（2）时，在上有唯一的极小值点；

时，有一个极大值点和一个极小值点；时，函数在上无极值点.

【解析】（1）先求导，可得,因为函数是定义域上的单调函数,所以只能是上恒成立，也就是说函数f(x)只能是增函数，到此问题基本得解.

（2）在（1）的基础上，可知当时，的点是导数不变号的点，函数无极值点；然后再分和两种情况进一步研究.

解:（1），若函数是定义域上的单调函数，

则只能在上恒成立，即在上恒成立.，

，

令，则，可得，即只要.

（或令，则函数图象的对称轴方程是，故只要恒成立，）

（2）有（1）知当时，的点是导数不变号的点，

故时，函数无极值点；

当时，的根是，

若，，此时，，且在上，

在上，故函数有唯一的极小值点；

当时，，此时，

在都大于，在上小于 ，

此时有一个极大值点和一个极小值点．

综上可知，时，在上有唯一的极小值点；

时，有一个极大值点和一个极小值点；时，函数在上无极值点.