Question

已知圆C：过点A（3，1），且过点P（4，4）的直线PF与圆C相切并和x轴的负半轴相交于点F．

（1）求切线PF的方程；

（2）若抛物线E的焦点为F,顶点在原点，求抛物线E的方程.

（3）若Q为抛物线E上的一个动点，求的取值范围．

Answer

（1）y=x+2（2）y2=-16x（3）(－∞，30]

【解析】(1)根据点A在圆上，可求出m,然后设出PF的方程，根据直线与圆C相切，圆心到直线的距离等于半径建立关于k的方程，求出k值，问题解决.

(2)由抛物线的焦点坐标，直接可确定抛物线的标准方程为.

(3)设出Q（x，y）,然后可得, 再利用,

可得， 然后利用函数的方法求出的取值范围.

【解析】
（1）点A代入圆C方程，得．∵m＜3，∴m＝1．圆C：．设直线PF的斜率为k，则PF：，

即．∵直线PF与圆C相切，∴．解得． 当k＝时，直线PF与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去．

当k＝时，直线PF与x轴的交点横坐标为－4，∴符合题意，∴直线PF的方程为y=x+2…………………6分

(2)设抛物线标准方程为y2=-2px,

∵F（－4，0）, ∴p=8,

∴抛物线标准方程为y2=-16x…………………8分

(3) ，设Q（x，y），，．

∵y2=-16x, ∴．

∴的取值范围是(－∞，30]．…………………13分