Question

（本题共10分）

将两块三角板按图甲方式拼好，其中，，，

，现将三角板沿折起，使在平面上的射影恰好在上，如图乙．

(Ⅰ)求证：平面；

(Ⅱ)求二面角的余弦值；

Answer

(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)

【解析】夹角此类问题的关键是熟悉几何体的结构题中，不但利用题中的线面关系夹角平行、垂直、空间角等问题，也可以建立适当的坐标系借助与向量解决以上问题

（1）在平面内找两条相交直线，再分别证明这两条直线与已知直线垂直，即可利用线面垂直的判定定理得到得到线面垂直．

（2）利用题中的垂直关系作出二面角的平面角，再证明此角是所求角，然后放入三角形中利用解三角形的有关知识求解答案即可．

【解析】
（1）设在的射影为，则平面，

， 又，平面   

，又，平面         ……………………4分

（2）由（1），又，  为中点

以为轴，为轴，过且与平行的直线为轴建系，则

设为平面的法向量，由，可得

易知为平面的法向量，

因为所求二面角是锐角，所以所求二面角的余弦值为。…………………10分