Question

（本小题满分12分）

已知点是圆上任意一点，点与点关于原点对称．线段的中垂线分别与交于两点．

（1）求点的轨迹的方程；

（2）斜率为1的直线与曲线交于两点,若（为坐标原点），求直线的方程．

Answer

（1）；（2）

【解析】本试题主要是考查了直线与圆的位置关系的运用，以及点的对称问题，和中垂线性质的运用，以及直线与二次曲线的交点问题的综合运用。

（1）因为点是圆上任意一点，点与点关于

原点对称．线段的中垂线分别与交于两点．利用定义法得到轨迹方程。

（2）设直线的方程为,由 ，联立方程组，结合韦达定理得到根与系数的关系，进一步结合向量的数量积为零得到结论。

【解析】
（1）由题意得，圆的半径为，且    … 1分

从而   …………………………… 3分

∴ 点M的轨迹是以为焦点的椭圆,     ………………………………………… 5分

其中长轴,得到,焦距，则短半轴

椭圆方程为:       ………………………………………………………… 6分

（2）设直线的方程为,由 

可得 …………………………………………………………… 8分

则,即     ①       …………………………………9分

设,则

由可得,即   …………………10分

整理可得     

化简可得,满足①式，故直线的方程为：   …………………12分