Question

（本小题满分12分）

已知函数.

（1）若函数的图象在处的切线斜率为，求实数的值；

（2）在（1）的条件下，求函数的单调区间；

（3）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.

Answer

（1）；

（2）的单调递减区间是；单调递增区间是；

（3）

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。主要是导数的几何意义的运用以及运用导数求解函数的 单调区间和极值的综合试题。

（1）先求解定义域和导函数，利用导数值为该点的切线斜率得到直线方程。

（2）利用求解导数，以及导数为零的点，以及导数的正负得到单调区间，并判定极值问题。

（3）根据函数在上是减函数，则导函数恒小于等于零得到参数的范围。

【解析】
（1）  ……………………………………………1分

 由已知，解得.   …………………………………………………3分

（2）函数的定义域为.. 

 当变化时，的变化情况如下：

-

+

极小值

由上表可知，函数的单调递减区间是；单调递增区间是. ……6分

（3）由得， ………………………………8分 由已知函数为上的单调减函数，

则在上恒成立，即在上恒成立.

 即在上恒成立.      ………………………………………………………10分

令，在上，所以在为减函数. ,所以. ……………………12分