Question

（本小题满分14分）

已知函数．

（1）求函数的最小值；

（2）证明：对任意恒成立；

（3）对于函数图象上的不同两点，如果在函数图象上存在点 （其中）使得点处的切线，则称直线存在“伴侣切线”．特别地，当时，又称直线存在“中值伴侣切线”．试问：当时，对于函数图象上不同两点、，直线是否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论．

Answer

（1）；（2）见解析；（3）函数不存在“中值伴侣切线”

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用，利用已知中的函数分段讨论得到函数的解析式，然后分析利用导数求解最值，并加以证明。

（1）因为函数然后得到分段函数，分别对每一段研究最值得到整个函数的最小值

（2）要证明对任意恒成立；，只要构造函数证明整式不等式恒成立即可。

（3）根据给定的新的定义得到函数，结合导数的思想来求解。

【解析】
（1）  …………1分

   ……………………………………2分

       ……………………………4分

（2）

令，………………6分

 因为,显然，所以在上递增,

显然有恒成立.（当且仅当x=1时等号成立），即证．      ………8分

（3）当时，，，假设函数存在“中值伴侣切线”. 

设,是曲线上的不同两点，且，

则，.  故直线AB的斜率：

 …………………………………………………………10分

曲线在点处的切线斜率：

=…………………………………………11分

依题意得：

化简可得： ，即=. …………12分 

设 ()，上式化为,由（2）知时，恒成立.

所以在内不存在,使得成立.

综上所述，假设不成立.所以，函数不存在“中值伴侣切线”    ………………14分