Question

已知函数，其中．

（1）当时，求曲线在原点处的切线方程；

（2）求的单调区间.

Answer

（1）

（2）的单调增区间是，；单调减区间是

【解析】本试题主要是考查导数在研究函数中的 运用求解函数的单调性和函数的切线方程的 综合运用。

（1）先求解函数在该点的导数值，然后得到斜率和点的坐标，进而利用点斜式得到直线的方程。

（2）

对于参数a分为大于零，小于零，等于零三种情况分析讨论单调性得到结论。

【解析】
（1）当时，，． ……………2分

由 ， 得曲线在原点处的切线方程是．………4分 

（2）．……………5分

① 当时，．

所以在单调递增，在单调递减．           ……7分

当，．

② 当时，令，得，，与的情况如下：

↘

↗

↘

故的单调减区间是，；单调增区间是．…10分

③ 当时，与的情况如下：

↗

↘

↗

所以的单调增区间是，；单调减区间是………１２分