Question

（本小题满分13分）如图，正方形所在平面与三角形所在平面相交于，平面，且，

（1）求证：平面；

（2）求凸多面体的体积．

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】本试题主要考查了多面体的体积的求解以及线面垂直的判定定理的运用。

（1）要证明AB垂直于平面，则利用AB//CD，通过证明CD垂直于平面得到证明。

（2）对多面体的体积可知看作是四棱锥的体积，结合分割的思想转化为两个三棱锥的体积和，得到结论。

（1）证明：∵平面，平面，

∴．

在正方形中，，

∵，∴平面．

∵，

∴平面．………………7分

（2）解法1：在△中，，，

∴．

过点作于点，

∵平面，平面，

∴．

∵，

∴平面．

∵，

∴．

又正方形的面积，

∴ 

．

故所求凸多面体的体积为．………………14分

解法2：在△中，，，

∴．

连接，则凸多面体分割为三棱锥

和三棱锥．

由（1）知，．

∴．

又，平面，平面，

∴平面．

∴点到平面的距离为的长度．

∴．

∵平面，

∴．

∴．

故所求凸多面体的体积为．………………14分